Las cónicas, un desafío

Como dije en mi anterior entrada, sobre Geogebra, he experimentado últimamente una especial fascinación con la geometría griega, y dentro de ella uno de los objetos que me parecen más interesantes son las cónicas. Éstas se definen como las curvas que se generan al cortar un cono por un plano. Dependiendo del ángulo de corte, aparecen los distintos tipos.

Generalmente, en el bachillerato, las cónicas se estudian con esta definición:

• Elipse: La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
• Hipérbola, Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
• Parábola: La parábola el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. 

En la Universidad, en la licenciatura de físicas, yo estudié las cónicas por medio del plano proyectivo, usando matrices; de esta forma era muy sencillo calcular sus elementos (centro, tangentes, asíntotas...), pero se usaban unas relaciones de conjugación (polo, polar), que para mí estaban muy lejos de estar claras, por tener nociones proyectivas muy básicas.

Cuando estudié la oposición de secundaria, me hice con un excelente tema de cónicas, preparado por D. Luis Wulf Alfonso, y en él me enteré de una nueva definición de cónicas mediante una razón constante (o excentricidad), entre la distancia a una recta llamada directriz (que antes sólo aparecía en la definición de la parábola) y a unos puntos llamados focos (ya conocidos pero con un significado nuevo).
Para llegar a estas definiciones, a partir de las secciones cónicas, se definían la directriz y los focos a partir de intersecciones del cono, una esfera y dos planos. El proceso era tan poco intuitivo, y más para una persona con limitaciones espaciales como soy yo, que me pareció digno de un genio. !Y esta definición era, por lo visto la encontrada en primer lugar por los griegos!
A partir de esta nueva definición era fácil llegar a las definiciones tradicionales que había visto en bachillerato

Cónicas

Posteriormente, fui descubriendo propiedades geométricas de las cónicas, que me parecieron asombrosas, y que tenían que ver con el mencionado plano proyectivo (algunas las expondré en otra ocasión con ayuda de Geogebra). Pero mi interés histórico me hace formular estas pregunas

1. ¿Como llegaron los griegos a conocer las cónicas?. Se dice, que fue al intentar resolver el problema de la duplicación del cubo, pero esta solución que desde el punto analítico es fácil (intersección de dos cónicas), desde luego no es desde el punto de vista geométrico. He encontrado algunas explicaciones en la red, pero desdo luego no son del todo satisfactorias como reconocen sus autores.Este descubrimiento se atribuye a Menecmo.
2. ¿Cuál fue el grado total de conocimiento helénico de las cónicas? La Biblia de las cónicas griegas viene dado  por la obra Apolonio de Pérgamo pero además de Menecmo,  Arquímedes ya conocía muchas propiedades de las cónicas. En español, no hay ahora mismo ninguna edición de las "Cónicas de Apolonio". Existe una ya descatalogada, en el libro "Científicos Griegos" recopilada por Francisco Vera, pero es difícil de encontrar en Bibliotecas. La Universidad de Granada, por ejemplo, la posee pero no está permitido su préstamo. Además me temo que su lectura es difícil (la falta de libros al respecto así parece corroborarlo)
   
3. ¿Está en Apolonio y sus sucesores latente la geometría proyectiva?

Prometo a mis lectores investigar, e intentar explicar de una forma sencilla todo lo que averigüe, y espero recibir de ellos alguna idea. También prometo exponer curiosidades geométricas de estas curvas.
Desde un punto de vista recreativo, les invito a disfrutar con el siguiente vídeo

La herramienta Geogebra

Aunque imparto clase de matemáticas, yo estudié Físicas, y he de reconocer que la geometría ha sido mi talón de Aquiles, pues dibujo muy mal, carezco de visión espacial y siempre me costó mucho ver semejanzas en las figuras, y como de joven prefería el álgebra nunca desarrollé la capacidad geométrica. Sin embargo, me gusta mucho la historia y la geometría griega me parece una de las cosas más asombrosas que ha creado la razón humana, pero dada mi falta de capacidad, cuando me atrevía con ella me costaba horrores avanzar en la comprensión de los teoremas. Sin embargo, hace un par de años descubrí e hice un curso de Geogebra y quedé encantado, pues con ella puedo reproducir todas las construcciones geométricas y comprobar empíricamente sus resultados.

 Como profesor, suelo usarla en clase prefiriéndola a aplicaciones ya creadas, pues me parece mucho más interesante que el alumno construya e investigue, a que trabaje con otro tipo de actividades en que el las preguntas ya vienen formuladas, y se limita a contestarlas usando el teclado o el ratón.

Como ya he dicho me gusta esta aplicación, porque permite dibujar objetos geométricos fácilmente, bien directamente mediante herramientas, o bien introduciendo sus ecuaciones, por lo que puede usarse, por ejemplo, para comprobar propiedades geométricas, resolver sistemas de ecuaciones de forma gráfica, cálculo vectorial , introducir la geometría analítica etc, y todo ello desde una forma dinámica: cuando creamos una figura, por ejemplo un triángulo, lo hacemos a partir de otros objetos, objetos independientes, como son los vértices. Pues bien, podemos cambiar éstos  moviéndolos (o redefiniéndolos), y el triángulo, y todo lo creado a partir de él (mediatrices, medianas, puntos notables...) van variando con los vértices, sin perder su su significado, de esta forma el alumno puede comprobar que las propiedades  no dependen de, en este caso, del triángulo dibujado, sino que son válidas en todos ellos.

Además el software dispone de medidores de distancias, ángulos etc de forma que podemos usar también propiedades métricas. Su editor de texto es así mismo dinámico, es decir que permite escribir relaciones numéricas que irán cambiando al ir moviendo los objetos libres. Además permite ocultar los elementos de dibujo que son necesarios en la contrucción pero no en el resultado final.

Como ejemplo veamos una contrucción para comprobar el teorema del cateto:

Aquí vemos la construcción usada y vemos que en este triángulo las razones correspondientes valen 2

Si movemos el punto D, que es independiente se moverá toda la construcción que hicimos a partir de él y obtenemos:

Vemos que en este caso el triángulo ha variado y también el valor de las razones, aunque continúan siendo iguales, de valor 1.19.

Geogebra se puede descargar libremente desde http://www.geogebra.org/cms/  , y funciona mediante la tecnología Webstart de Java, es decir, si no quieres instalar nada en tu ordenador salvo los archivos que produzcas, te crea un icono para acceder a ella desde Internet. También puedes descargartela de forma permanente.

Geogebra permite fácilmente subir archivos a la red, animarlos y un sinfín de aplicaciones más, por lo que consta, además de su página de ayuda, un Foro y una Wiki.

El más grande matemático de la antigüedad, Arquímedes, usaba un método mecánico para demostrar sus teoremas, y una vez conocido el resultado hacerlo siguiendo el canon euclídeo

"Es más fácil construir la demostración después de haber adquirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto" (El método)

Para otros, como yo, nada geniales, Geogebra nos permite llegar más fácilmente a comprender la Geometría.

Presentación del blog

"Tanquam ex ungue leonem" (reconocerás al león por sus garras) dicen que exclamó Johan Bernoulli al recibir una carta, donde en sólo setenta y siete palabras se describia la solución del problema de la braquistocrona, con el cual había desafiado el propio Bernoulli a la comunidad matemática. Se trababa de poner de manifiesto la potencia de la nueva herramienta matemática llamada cálculo diferencial. Sólo 5 matemáticos resolvieron el problema, los dos hermanos Bernoulli (Jakob y Johan), Leibniz, L´Hopital y un autor anómimo, el león de la cita, que no era otro que Isaac Newton. Este reto encendió la mecha de la disputa sobre la invención del cálculo diferencial, por hechos que quizás cuente otro día, pero la famosa frase del de Basilea (en la historia hay varios genios en Basilea, aunque hoy sólo se conozca a uno que juega al tenis) me ha servido para presentar este blog, que no pretende otra cosa que exponer curiosidades matemáticas, puras o aplicadas, intentando que tengan aplicación en la educación matemática. Me gustaría tanto exponer, facetas divertidas de esta materia, como poner de manifiesto dificultades que encuentro en mi práctica docente para abordar determinados aspectos y problemas, y de esta forma intercambiar experiencias con colegas y alumnos, para ayudarnos entre todos